Célula de Ensino evolução que gera resultados
Matemática Discreta, Lógica Proposicional e Teoria dos Grafos

Introdução à Lógica e à Matemática Discreta: Métodos de Demonstração, Conjuntos, Contagem, Aritmética e Grafos

Formação universitária fundamental e aplicada em Lógica Matemática e Estruturas Discretas, desenhada para capacitar estudantes e profissionais de computação no domínio rigoroso do raciocínio formal e das ferramentas matemáticas subjacentes à ciência dos algoritmos. Aborda a lógica proposicional clássica, operadores lógicos, tabelas-verdade, equivalências tautológicas e formas normais, expandindo para a lógica de predicados de primeira ordem com quantificadores universais e existenciais. Desenvolve um repertório sistemático de estratégias de demonstração matemática: demonstrações diretas, prova por contraposição, redução ao absurdo (reductio ad absurdum), demonstração por casos e o Princípio da Indução Matemática em suas formulações fraca, forte e pelo princípio da boa ordenação. Explora a teoria de conjuntos em estilo axiomático intuitivo e rigoroso, operando com uniões, interseções, produtos cartesianos e conjuntos das partes, avançando para a modelagem de relações binárias (reflexivas, simétricas, transitivas, de equivalência e de ordem parcial/posets) e a álgebra de funções (injetoras, sobrejetoras e bijetoras). Investiga o conceito de cardinalidade e equipotência de conjuntos, demonstrando a contabilidade de conjuntos infinitos enumeráveis, a não-enumerabilidade dos números reais através do método da diagonal de Cantor e o Teorema de Cantor-Bernstein. Consolida técnicas fundamentais e avançadas de contagem combinatória: princípios aditivo e multiplicativo, Princípio da Casa dos Pombos (Dirichlet), permutações, combinações com repetição, teorema binomial e inclusão-exclusão. Culmina no estudo da teoria elementar dos números (divisibilidade, algoritmo de Euclides para MDC, números primos, congruências modulares) e na aplicação direta dessas estruturas discretas na modelagem de redes através da Teoria dos Grafos (graus de vértices, lema do aperto de mãos, caminhos, ciclos, árvores geradoras, planaridade e grafos eulerianos).

6 células 60h Graduação em Ciência da Computação, Engenharia de Software,
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Alinhamento ONU / Agenda Pós-2030: ODS 7 (Energia Limpa) ODS 9 (Indústria e Infraestrutura) ODS 12 (Consumo e Produção) ODS 13 (Ação Climática) ODS 17 (Parcerias Globais)
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Jornada da trilha

Células de aprendizagem

1

Célula 01: Lógica Proposicional, Tabelas-Verdade e Quantificadores de Primeira Ordem

Fundamentação rigorosa na sintaxe e semântica da lógica formal para a ciência da computação e matemática pura. Inicia com a definição precisa de proposição como sentença declarativa que assume exatamente um valor-verdade (Verdadeiro ou Falso, Princípio do Terceiro Excluído e da Não-Contradição). Explora os conectivos lógicos fundamentais: negação (¬), conjunção (∧), disjunção inclusiva (∨), disjunção exclusiva (⊕), condicional material (→) e bicondicional (↔). Constrói sistematicamente tabelas-verdade para fórmulas complexas e classifica proposições em tautologias, contradições e contingências. Estuda as equivalências lógicas notáveis: Leis de De Morgan, distributividade, associatividade, comutatividade, dupla negação e a equivalência da contrapositiva (P → Q ≡ ¬Q → ¬P). Apresenta as Formas Normais Conjuntiva (FNC) e Disjuntiva (FND) como bases para compiladores e resolvedores SAT. Evolui para a Lógica de Predicados de Primeira Ordem, introduzindo termos, variáveis, universos de discurso e predicados P(x). Formaliza o quantificador universal (∀ - 'para todo') e o quantificador existencial (∃ - 'existe'). Ensina a negação rigorosa de sentenças quantificadas (¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) e ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)) e analisa quantificadores aninhados (∀x ∃y versus ∃y ∀x), prevenindo as falácias mais comuns em especificações de software e enunciados de teoremas.

10h
2

Célula 02: Métodos e Estratégias de Demonstração Matemática

Desenvolvimento metódico da capacidade de conceber, estruturar e redigir demonstrações matemáticas rigorosas e elegantes. Analisa a anatomia de um teorema matemático: premissas/hipóteses, tese, definições preliminares, lemas auxiliares e corolários. Sistematiza as principais técnicas de prova direta para proposições universais condicionais (∀x (P(x) → Q(x))): assume-se P(x) verdadeiro e, mediante definições e regras lógicas de inferência válidas (Modus Ponens, Silogismo Hipotético), deduz-se Q(x) (aplicado a propriedades de paridade e divisibilidade de inteiros). Apresenta as técnicas indiretas de demonstração: 1) Prova por Contraposição: demonstrar a equivalência ¬Q → ¬P quando a negação da tese oferece premissas mais operacionais do que a hipótese original; 2) Prova por Redução ao Absurdo (reductio ad absurdum / por contradição): assume-se a negação da conclusão (P ∧ ¬Q) e deriva-se uma contradição lógica irremediável (R ∧ ¬R), exemplificada na prova clássica da irracionalidade da raiz quadrada de 2 e na infinitude dos números primos de Euclides. Examina demonstrações por exaustão de casos e a refutação por contraexemplo. Aprofunda-se no Princípio da Indução Matemática (P.I.M.): indução matemática simples ou fraca (passo base P(1) e passo indutivo P(k) → P(k+1)), indução matemática forte ou completa (em que se assume P(i) verdadeiro para todo 1 ≤ i ≤ k) e o Princípio da Boa Ordenação dos Números Naturais, demonstrando a equivalência lógica entre essas formulações.

10h
3

Célula 03: Teoria de Conjuntos, Relações e Teoria de Funções

Estudo analítico e operacional dos blocos construtivos fundamentais da matemática e da modelagem de software: conjuntos, relações e funções. Apresenta a teoria de conjuntos sob a perspectiva descritiva e construtiva: noções de pertinência (∈), continência e subconjunto (⊆, ⊂), conjunto vazio (∅) e universo de discurso (U). Detalha as operações booleanas sobre conjuntos: união (A ∪ B), interseção (A ∩ B), diferença relativa (A \ B), complemento absoluto (A^c) e diferença simétrica (A △ B), provando identidades algébricas de conjuntos a partir de leis da lógica proposicional. Examina o Produto Cartesiano (A × B) e o Conjunto das Partes (Power Set, P(A)), demonstrando que se |A| = n, então |P(A)| = 2^n. Formaliza o conceito de Relação Binária R ⊆ A × B e suas propriedades fundamentais em relações sobre um mesmo conjunto A: reflexividade, irreflexividade, simetria, antissimetria e transitividade. Analisa as Relações de Equivalência (reflexiva, simétrica e transitiva), definindo classes de equivalência [a] e provando o Teorema Fundamental das Relações de Equivalência: as classes de equivalência particionam o conjunto subjacente em subconjuntos disjuntos e não vazios. Introduz as Relações de Ordem Parcial (posets: reflexiva, antissimétrica e transitiva) e sua representação visual através de Diagramas de Hasse. Transita para a Teoria de Funções f: A → B vistas como relações binárias unívocas: domínio, contradomínio, imagem, funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras. Finaliza com a álgebra de funções: composição de funções (g ∘ f), associatividade da composição e o critério de invertibilidade: uma função possui inversa (f^-1) se e somente se for uma bijeção.

10h
4

Célula 04: Equipotência de Conjuntos, Cardinalidade e o Infinito Discreto

Exploração aprofundada da cardinalidade e do comportamento contraintuitivo dos conjuntos infinitos, marco fundacional da matemática moderna desenvolvido por Georg Cantor. Define equipotência: dois conjuntos A e B têm o mesmo cardinal (|A| = |B|) se e somente se existe uma bijeção f: A → B entre eles. Estuda os conjuntos finitos e estabelece a definição rigorosa de conjunto infinito como aquele que é equipotente a um de seus subconjuntos próprios (critério de Dedekind), exemplificado pelo paradoxo do Hotel de Hilbert e pela bijeção de Galileu entre os números naturais e os quadrados perfeitos. Formaliza a noção de conjunto enumerável (denumerável): conjuntos que possuem a mesma cardinalidade que o conjunto dos números naturais N, representada pelo cardinal transfinito Aleph-zero (ℵ0). Prova detalhadamente que o conjunto dos números inteiros Z e o conjunto dos números racionais Q são enumeráveis, utilizando a técnica de zigue-zague de Cantor em grades bidimensionais. Apresenta o momento culminante da teoria: a prova de que o conjunto dos números reais R no intervalo [0, 1] é estritamente maior que N, através do célebre Argumento da Diagonal de Cantor, demonstrando que os reais são não-enumeráveis (cardinalidade do contínuo, 𝔠). Discute o Teorema de Cantor: para todo conjunto A, |A| < |P(A)|, provando que não existe um cardinal máximo e gerando a hierarquia infinita de infinitos. Conclui com o Teorema de Cantor-Bernstein-Schröder: se |A| ≤ |B| e |B| ≤ |A|, então |A| = |B|, ferramenta essencial para provar equivalências cardinais na teoria da computação e complexidade.

10h
5

Célula 05: Combinatória Enumerativa e Técnicas Avançadas de Contagem

Capacitação completa nas ferramentas da combinatória enumerativa, essenciais para a análise de complexidade de algoritmos, probabilidade discreta e estruturas de dados. Inicia com os axiomas básicos de contagem: o Princípio Aditivo (regra da soma para eventos mutuamente disjuntos) e o Princípio Multiplicativo (regra do produto para sequências de escolhas independentes). Apresenta em detalhes o Princípio da Casa dos Pombos (Pigeonhole Principle de Dirichlet) em suas formulações clássica (se k+1 objetos são distribuídos em k gavetas, ao menos uma gaveta conterá 2 ou mais objetos) e generalizada (⌈N/k⌉ objetos), aplicando-o na resolução de problemas surpreendentes de teoria dos números, geometria discreta e colisões em funções hash criptográficas. Disseca as configurações combinatórias fundamentais: permutações simples (P_n = n!), arranjos simples (A(n, k)), permutações com elementos repetidos e combinações simples (C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)). Desenvolve a teoria das combinações com repetição (problema das barras e estrelas / equações diofantinas lineares não-negativas x1 + ... + xk = n). Analisa o Teorema Binomial de Newton, suas identidades algébricas (soma dos coeficientes binomiais = 2^n) e o Triângulo de Pascal. Formaliza o Princípio da Inclusão-Exclusão para união de conjuntos finitos múltiplos (|A1 ∪ ... ∪ An|) e o aplica na contagem de funções sobrejetoras e no clássico problema das permutações caóticas (desarranjos / subfatoriais !n). Conclui com uma introdução à resolução de relações de recorrência lineares homogêneas com raízes características da equação auxiliar.

10h
6

Célula 06: Aritmética dos Inteiros, Primos e Fundamentos da Teoria dos Grafos

Consolidação integrativa da matemática discreta através da teoria dos números inteiros e da introdução à teoria dos grafos como linguagem universal de estruturas em rede. Na primeira parte, explora as propriedades dos inteiros Z: a relação de divisibilidade (a | b), o Algoritmo da Divisão de Euclides (a = q*b + r com 0 ≤ r < |b|), o Máximo Divisor Comum (MDC) e o Mínimo Múltiplo Comum (MMC). Demonstra o Algoritmo de Euclides das divisões sucessivas e sua extensão com a Identidade de Bézout (ax + by = mdc(a, b)). Analisa os números primos, o Crivo de Eratóstenes e o Teorema Fundamental da Aritmética (fatoração única em primos). Introduz as congruências modulares de Gauss (a ≡ b (mod m)), suas propriedades aritméticas e a resolução de equações lineares de congruência, destacando aplicações em criptografia assimétrica moderna (criptossistema RSA). Na segunda parte, introduz a Teoria dos Grafos: definição formal de grafo simples G = (V, E) não-direcionado e dígrafo direcionado, vértices, arestas e laços. Estuda o grau de um vértice (deg(v)) e demonstra o Lema do Aperto de Mãos de Euler (a soma dos graus de todos os vértices é igual a duas vezes o número de arestas, com o corolário de que todo grafo possui um número par de vértices de grau ímpar). Analisa caminhos, circuitos, conectividade de componentes e isomorfismo de grafos. Apresenta o problema histórico das Sete Pontes de Königsberg (Leonhard Euler, 1736) e caracteriza grafos eulerianos (circuitos que percorrem cada aresta exatamente uma vez) e grafos hamiltonianos. Finaliza com árvores (grafos conexos acíclicos) e a fórmula de Euler para grafos planares (V - E + F = 2).

10h